4. СТРОЕНИЕ ЗЕМЛИ ПО ДАННЫМ СЕЙСМОЛОГИИ

Основы теории упругости: тензор деформации, тензор напряжений, закон Гука, упругие модули, однородные деформации, упругие волны в изотропной среде, законы Ферма, Гюйгенса, Снеллиуса. Сейсмические волны. Развитие сейсмометрических наблюдений: сейсмические станции и их сети, годографы, траектории волн внутри Земли. Определение скорости распространения сейсмических волн с помощью уравнения Гертлоца-Вихерта. Скорости продольных и поперечных волн как функции радиуса Земли. Состояние вещества Земли по данным сейсмологии. Земная кора. Литосфера и астеносфера. Сейсмология и глобальная тектоника.

Основы теории упругости [Ландау, Лифшиц, 2003, с. 9-25, 130-144]

Тензор деформации

Механика твердых тел, рассматриваемых как сплошные среды, составляет содержание теории упругости . Основные уравнения теории упругости были установлены О.Л. Коши и С.Д. Пуассоном в 20-х годах 19 века (подробнее см. главу 15).

Под влиянием приложенных сил твердые тела в той или иной степени деформируются, т.е. изменяют свою форму и объем. Для математического описания деформации тела поступают следующим образом. Положение каждой точки тела определяется ее радиус-вектором r (с компонентами х 1 = х , х 2 = у , х 3 = z ) в некоторой системе координат. При деформировании тела все его точки, вообще говоря, смещаются. Рассмотрим какую-нибудь определенную точку тела; если ее радиус-вектор до деформирования был r , то в деформированном теле он будет иметь некоторое другое

значение r / (с компонентами x i / ). Смещение точки тела при деформировании изобразится тогда вектором r / - r , который обозначим буквой u :

Вектор u называют вектором деформации (или вектором смещения ). Знание вектора u

как функции от x i полностью определяет деформацию тела.

При деформировании тела меняются расстояния между его точками. Если радиусвектор между ними до деформирования был dx i , то в деформированном теле радиус-

вектор между теми же двумя точками будет dx i / = dx i + du i . Само расстояние между точками до деформирования было равно:

dl = dx1 2 + dx2 2 + dx3 2 ,

а после деформирования:

dl / = dx 1 / 2 + dx 2 / 2 + dx 3 / 2 .

Окончательно получаем:

Этими выражениями определяется изменение элемента длины при деформировании тела. Тензор u ik называется тензором деформации ; по своему определению он симметричен:

Как и всякий симметричный тензор, тензор u ik в каждой точке можно привести к

главным осям и убедиться, что в каждом элементе объема тела деформацию можно рассматривать как совокупность трех независимых деформации по трем перпендикулярным направлениям – главным осям тензора деформации. Практически почти во всех случаях деформирования тел деформации оказываются малыми. Это значит, что изменение любого расстояния в теле оказывается малым по сравнению с самим расстоянием. Другими словами, относительные удлинения малы по сравнению с единицей.

За исключением некоторых особых случаев, которых касаться не будем, если тело подвергается малой деформации, то все компоненты тензора деформации также являются малыми. Поэтому в выражении (4.3) можно пренебречь последним членом как малой величиной второго порядка. Таким образом, в случае малых деформаций тензор деформации определится выражением:

Итак, силы являются причиной возникающих в теле движений (перемещений), а деформации – результатом движений [Хайкин, 1963, с. 176].

Основное допущение классической теории упругости

В недеформированном теле расположение молекул соответствует состоянию его теплового равновесия. При этом все его части находятся друг с другом и в механическом равновесии. Это значит, что если выделить внутри тела какой-нибудь объем, то равнодействующая всех сил, действующих на этот объем со стороны других частей, равна нулю.

При деформировании же расположение молекул меняется, и тело выводится из состояния равновесия, в котором оно находилось первоначально. В результате в нем возникнут силы, стремящиеся вернуть тело в состояние равновесия. Эти возникающие при деформировании внутренние силы называются внутренними напряжениями . Если тело не деформировано, то внутренние напряжения в нем отсутствуют.

Внутренние напряжения обуславливаются молекулярными связями, т.е. силами взаимодействия молекул тела друг с другом. Весьма существенным для теории упругости является то обстоятельство, что молекулярные силы обладают очень незначительным радиусом действия. Их влияние распространяется вокруг создающей их частицы лишь на расстоянии порядка межмолекулярных. Но в теории упругости, как в макроскопической теории, рассматриваются только расстояния, большие по сравнению с межмолекулярными. Поэтому «радиус действия» молекулярных сил в теории упругости должен считаться равным нулю. Можно сказать, что силы, обусловливающие внутренние напряжения, являются в теории упругости силами «близкодействующими», передающимися от каждой точки только к ближайшим с нею точкам.

Таким образом, в классической теории упругости силы, действующие на какуюнибудь часть тела со стороны окружающих ее частей, проявляют это действие только непосредственно через поверхность этой части тела.

По сути, такой же идеологии применительно к теории упругости вслед за [Ландау, Лифшиц, 2003] придерживается и автор фундаментального труда [Хайкин, 1963, с. 484].

Тензор напряжений

Вывод о том, что все силы проявляют свое действие только через поверхность, является ключевым для классической теории упругости. Он позволяет для любого объема тела каждую из трех компонент равнодействующей всех внутренних напряжений сил

∫ F i dV (где F i - сила, действующая на единицу объема dV ) преобразовать в интеграл по поверхности этого объема. В таком случае, как следует из векторного анализа, вектор F i должен являться дивергенцией некоторого тензора второго ранга, т.е. иметь вид:

F i = ∂ σ ik . (4.6)

∂x k

Тогда сила, действующая на некоторый объем, сможет быть записана в виде интеграла по замкнутой поверхности, охватывающей этот объем:

охватывающей объем dV .

Тензор σ ik называется тензором напряжений . Как видно из (4.7), σ ik df k есть i -я

компонента силы, действующей на элемент поверхности d f . Выбирая элементы поверхности в плоскостях ху , уz , xz , находим, что компонента σ ik тензора напряжений

есть i -я компонента силы, действующей на единицу поверхности, перпендикулярную к оси x k . Так, на единичную площадку, перпендикулярную к оси х , действуют нормальная к

ней (направленная вдоль оси х ) сила σ xx и тангенциальные (направленные по осям y и z )

силы σ yx и σ zx .

Отметим, что сила, действующая со стороны внутренних напряжений на всю поверхность тела, в отличие от (4.7) есть:

− ∫ σ ik df k .

Записывая момент сил M ik , действующих на некоторый объем тела, в виде:

M ik = ∫ (F i x k − F k x i ) dV

и требуя, чтобы он выражался в виде интеграла только по поверхности, получаем, что тензор напряжения является симметричным:

К аналогичному выводу можно прийти и более простым путем [Сивухин, 1974, с. 383]. А именно. Момент dM ik прямо пропорционален моменту инерции элементарного

объема dM ik ≈ I ≈ (dV )5 / 3 и, следовательно, получаем (F i x k − F k x i )dV = dM ik ≈ (dV )5 / 3 ≈ 0 , откуда автоматически следует соотношение (4.8).

Симметрия тензора напряжений позволяет его в каждой точке привести его к главным осям , т.е. в каждой точке тензор напряжений может быть представлен в виде:

В равновесии силы внутренних напряжений должны взаимно компенсироваться в каждом элементе объема тела, т.е. должно быть F i = 0 . Таким образом, уравнения

равновесия деформированного тела имеют вид:

∂ σ ik = 0 .

∂x k

Если тело находится в поле силы тяжести, то должна исчезать сумма F + ρ g сил внутренних напряжений F и силы тяжести ρ g , действующей на единицу объема, ρ -

плотность тела, g – вектор ускорения свободного падения. Уравнения равновесия в этом случае имеют вид:

Энергия деформирования

Рассмотрим какое-нибудь деформированное тело и предположим, что его деформация меняется так, что вектор деформации u i изменяется на малую величину δ u i .

Определим работу, производимую при этом силами внутренних напряжений. Умножая силу (4.6) на перемещение δ u i и интегрируя по всему объему тела, получим:

Символом δ R обозначена работа сил внутренних напряжений в единице объема тела. Интегрируя по частям, рассматривая неограниченную среду, не деформированную на бесконечности, устремляя поверхность интегрирования в бесконечность, тогда на ней σ ik = 0 , получаем:

∫ δ RdV = − ∫ σ ik δ uik dV .

Таким образом, находим:

Полученная формула определяет работу по изменению тензора деформации, которая и определяет изменение внутренней энергии тела.

- – раздел механики, изучающий вызванные физическими воздействиями упругие деформации и напряжения в твердом теле. [Терминологический словарь по строительству на 12 языках] Рубрика термина: Общие термины Рубрики энциклопедии: Абразивное… … Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов

теория упругости - Наука о закономерностях изменения напряжённого и деформированного состояний нагруженного твёрдого тела в пределах упругой работы материала [Терминологический словарь по строительству на 12 языках (ВНИИИС Госстроя СССР)] EN elasticity theory DE… … Справочник технического переводчика

теория упругости - tamprumo teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. elasticity theory vok. Elastizitätstheorie, f rus. теория упругости, f pranc. théorie d’élasticité, f … Fizikos terminų žodynas

ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ - наука о закономерностях изменения напряжённого и деформированного состояний нагруженного твёрдого тела в пределах упругой работы материала (Болгарский язык; Български) теория на еластичността (Чешский язык; Čeština) teorie pružnosti (Немецкий… … Строительный словарь

Теория упругости и пластичности - состоит из двух подразделов: Теории упругости, Теории пластичности. Список значений слова или словосочетан … Википедия

УПРУГОСТИ ТЕОРИЯ - раздел механики, в к ром изучаются перемещения, деформации и напряжения, возникающие в покоящихся или движущихся упругих телах под действием нагрузки. У. т. основа расчётов на прочность, деформируемость и устойчивость в строит, деле, авиа и… … Физическая энциклопедия

УПРУГОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ - раздел механики, в к ром изучаются перемещения, деформации и напряжения, возникающие в покоящихся или движущихся упругих телах под действием нагрузки. Напряжение в любой точке тела характеризуется 6 величинами компонентами напряжений: нормальными … Математическая энциклопедия

Упругости теория - Механика сплошных сред Сплошная среда Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса … Википедия

Упругости теория - раздел механики (См. Механика), в котором изучаются перемещения, деформации и напряжения, возникающие в покоящихся или движущихся упругих телах под действием нагрузки. У. т. теоретическая основа расчётов на прочность, деформируемость и… … Большая советская энциклопедия

Теория пластичности - Теория пластичности раздел механики сплошных сред, задачами которого является определение напряжений и перемещений в деформируемом теле за пределами упругости. Строго говоря, в теории пластичности предполагается, что напряженное состояние… … Википедия

Книги

• Теория упругости , М. Филоненко-Бородич , Предлагаемый вниманию читателей краткий курс теории упругости составлен на основе лекций, прочитанных автором в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова. Эти лекции имеют… Категория: Математика Издатель: ЁЁ Медиа , Производитель: ЁЁ Медиа , Купить за 2200 грн (только Украина)
• Теория упругости , М. Филоненко-Бородич , Предлагаемый вниманию читателей «краткий курс теории упругости» составлен на основе лекций, прочитанных автором в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова. Эти лекции… Категория: Математика и естественные науки Серия: Издатель:

Основная задача теории упругости - определение напряженно-деформированного состояния по заданным условиям нагружения и закрепления тела.

Напряженно-деформированное состояние определено, если найдены компоненты тензора напряжений {} и вектора перемещений, девять функций.

Основные уравнения теории упругости

Для того, чтобы найти эти девять функций надо записать основные уравнения теории упругости, или:

Дифференциальные Коши

где - компоненты тензора линейной части деформаций Коши;

Компоненты тензора производной перемещения по радиусу.

Дифференциальные уравнения равновесия

где - компоненты тензора напряжений; - проекция объемной силы на ось j.

Закон Гука для линейно-упругого изотропного тела

где - константы Ламе; для изотропного тела. Здесь - нормальные и касательные напряжения; деформации и углы сдвига соответственно.

Вышеперечисленные уравнения должны удовлетворять зависимостям Сен-Венана

В теории упругости задача решена, если выполняются все основные уравнения.

Типы задач теории упругости

Граничные условия на поверхности тела должны выполняться и в зависимости от типа граничных условий различают три типа задач теории упругости.

Первый тип. На поверхности тела заданы силы. Граничные условия

Второй тип. Задачи, в которых на поверхности тела задано перемещение. Граничные условия

Третий тип. Смешанные задачи теории упругости. На части поверхности тела заданы силы, на части поверхности тела задано перемещение. Граничные условия

Прямая и обратная задачи теории упругости

Задачи, в которых на поверхности тела заданы силы или перемещения, а требуется найти напряженно-деформированное состояние внутри тела и то, что не задано на поверхности, называют прямыми задачами. Если же внутри тела заданы напряжения, деформации, перемещения и т.д., а требуется определить то, что не задано внутри тела, а также перемещения и напряжения на поверхности тела (то есть найти причины, вызвавшие такое напряженно-деформированное состояние)), то такие задачи называются обратными.

Уравнения теории упругости в перемещениях (уравнения Ламе)

Для определения уравнений теории упругости в перемещениях запишем: дифференциальные уравнения равновесия (18) закон Гука для линейно-упругого изотропного тела (19)

Если учесть, что деформации выражаются через перемещения (17), запишем:

Следует также напомнить, что угол сдвига связан с перемещениями следующим соотношением (17):

Подставив в первое уравнение равенств (19) выражение (22), получим, что нормальные напряжения

Отметим, что запись иц в данном случае не подразумевает суммирования по i.

Подставив во второе уравнение равенств (19) выражение (23), получим, что касательные напряжения

Запишем уравнения равновесия (18) в развернутом виде для j = 1

Подставив в уравнение (26) выражения для нормальных (24) и касательных (25) напряжений, получим

где л- константа Ламе, которая определяется по выражению:

Подставим выражение (28) в уравнение (27) и запишем,

где определяется по выражению (22), или в развернутом виде

Разделим выражение (29) на G и приведем подобные слагаемые и получим первое уравнение Ламе:

где - оператор Лапласа (гармонический оператор), который определятся как

Аналогично можно получить:

Уравнения (30) и (32) можно записать в следующем виде:

Уравнения (33) или (30) и (32) являются уравнениями Ламе. Если объемные силы равны нулю или постоянны, то

причем запись в данном случае не подразумевает суммирования по i. Здесь

или, с учетом (31)

Подставив (22) в (34) и проведя преобразования, получим

а, следовательно

где - функция, удовлетворяющая данному равенству. Если

следовательно, f - функция гармоническая. Значит и объемная деформация также функция гармоническая.

Считая верным предыдущее предположение, возьмем гармонический оператор от i -ой строчки уравнения Ламе

Если объемные силы равны нулю или постоянны, то компоненты перемещения есть бигармонические функции.

Известны различные формы представления бигармонических функций через гармонические (удовлетворяющие уравнениям Ламе).

где k = 1,2,3. Причем

Можно показать, что такое представление перемещений через гармоническую функцию обращает в тождество уравнения Ламе (33). Часто их называют условиями Попковича-Гродского. Четыре гармонические функции не обязательны, ведь ф0 можно приравнять нулю.

В телах, находящихся в покое или движутся под действием нагрузок.

1. Задача теории упругости

Задачей этой теории есть запись математических уравнений, решение которых позволяет ответить на следующие вопросы:

• какими будут деформации конкретного тела, если к нему приложить в известных местах погрузки заданной величины?
• какими будут при этом напряжение в теле?

Вопрос, тело разрушится, выдержит эти нагрузки, тесно связанные с теорией упругости, но, строго говоря, не входит в его компетенцию.

Примеров можно привести множество - от определения деформаций и напряжений в нагруженной балке на опорах, в расчет этих же параметров в корпусе самолета, ракеты, подлодки, в колесе вагона в броне танка при ударе снаряда, в горном массиве при прокладке штольни, в каркасе высотного здания и так далее.

Для случая инженерных задач, напряжения и деформации в конструкциях рассчитывают по упрощенным теориям, логически базируются на теории упругости. К таким теориям относятся: сопротивление материалов , задачей которого является расчет стержней и балок , а также оценка напряжений, возникающих в зонах контактного взаимодействия твердых тел; строительная механика - расчет стержневых систем (например, мостов), и теория оболочек - самостоятельная и хорошо развитая отрасль науки о деформации и напряжения, предметом исследования которой является тонкостенные оболочки - цилиндрические, конические, сферические, и сложные формы.

2. Основные понятия теории упругости

Основными понятиями теории упругости является напряжение, действующих на малых площинках, которые можно мысленно провести в теле через заданную точку P, деформации малой окрестности точки P и перемещения самой точки P. Точнее говоря, вводятся тензор механических напряжений , Тензор малых деформаций и вектор перемещения u i. Краткое обозначение , Где индексы i, j принимают значения 1, 2, 3 (или x, y, z) следует понимать как матрицу в видах:

Аналогично следует понимать и краткое обозначение тензора .

Если физическое точка тела M вследствие деформации заняла новое положение в пространстве P ", то вектор перемещения является вектор с компонентами (u x, u y, u z), или, сокращенно, u i. В теории малых деформаций компоненты u i и считаются малыми величинами (строго говоря, бесконечно малыми). Компоненты тензора , Который также называется тензор деформации Коши или линейный тензор деформации и вектора u i связаны зависимостями:

С последней записи видно, что , Поэтому тензор деформации является симметричным по определению.

Если упругое тело под действием внешних сил находится в равновесии (т.е. скорости всех его точек равны нулю), то в равновесии находится и любая часть тела, которую мысленно можно из него выделить. Из тела выделяется бесконечно малый прямоугольный параллелепипед, грани которого параллельны координатным плоскостям декартовой системы. Из условия равновесия параллелепипеда с размерами ребер dx, dy, dz, рассмотрев условия равновесия сил в проекциях, можно получить:

Аналогично получаются уравнения равновесия, выражающих равенство нулю главного момента всех сил, действующих на параллелепипед, приводимые к виду:

Это равенство означает, что тензор напряжений является симметричным тензор и число неизвестных компонент тензора напряжений сводится к 6. Есть только три уравнения равновесия, т.е. уравнений статики недостаточно для решения задачи. Выход из положения состоит в том, чтобы выразить напряжения через деформации с помощью уравнений закона Гука , а затем деформации выразить через перемещения u i с помощью формул Коши, и результат подставить в уравнение равновесия. При этом получается три дифференциальные уравнения равновесия относительно трех неизвестных функций u x u y u z, т.е. число неизвестных будет соответствовать числу уравнений. Эти уравнения называются уравнениями Навье-Коши.

3. Граничные условия

Решение задач теории упругости сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений в частных производных, определяющие поведение упругого тела во внутренних точках. К этим уравнениям добавляются условия на поверхности, ограничивающей тело. Эти условия определяют задания или внешних поверхностных сил, или перемещений точек поверхности тела. В зависимости от этого обычно формулируют один из трех типов краевых задач.

Первая краевая задача - кинематическая. В объеме тела отыскиваются составляющие перемещений, приобретают на поверхности определенных значений. В условии на поверхности тела таким образом задаются уравнения поверхности и значения составляющих перемещений на ней.

Вторая краевая задача - статическая. В этом случае на поверхности тела не наложены никакие ограничения на перемещение и задаются уравнения поверхности, направляющие косинусы нормали к поверхности и значения составляющих поверхностных нагрузок.

В случае, когда поверхность тела совпадает с координатными плоскостями, граничные условия могут быть сформулированы непосредственно в напряжениях. Тогда достаточно указать уравнение поверхности и задать значения составляющих напряжений на ней.

Третья краевая задача - смешанная. В этом случае на одной части поверхности тела задаются кинематические условия, а на другой - статические.

Этими тремя задачами не исчерпывается все разнообразие граничных условий. Например, на некотором участке поверхности могут быть заданы не все три составляющие перемещения или составляющие поверхностной нагрузки.

4. Смотри также

Источники

• Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1979. 560 с.

Российский государственный университет

нефти и газа им. И.М.Губкина

Кафедра технической механики

РЕФЕРАТ

«Теория упругости»

Выполнил: Поляков А. А.

Проверил: Евдокимов А.П.

Москва 2011

теория упругость уравнение

1. Введение

Теория напряженно-деформированного состояния в точке тела

2.1 Теория напряжений

2 Теория деформаций

3 Связь между напряженным и деформированным состоянием для упругих тел

Основные уравнения теории упругости. Типы задач теории упругости

1 Основные уравнения теории упругости

2 Типы задач теории упругости

4 Уравнения теории упругости в перемещениях(уравнения Ламе)

Вариационные принципы теории упругости

1 Принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа)

2 Принцип возможных состояний (принцип Кастильяно)

3 Соотношение между точным решением и решениями, получаемыми на основе принципов Лагранжа и Кастильяно

Список использованной литературы

1. Введение

Теории напряжений и деформаций были созданы О. Коши. Они изложены в работе, представленной в Парижскую академию наук в 1822 г., краткое содержание которой опубликовано в 1823 г. и ряде последующих статей. О.Коши вывел три уравнения равновесия элементарного четырехгранника, доказал закон парности касательных напряжений, ввел понятия главных осей и главных напряжений и вывел дифференциальные уравнения равновесия (обычно они в курсе сопротивления материалов не выводятся). Им же введена поверхность нормальных напряжений (квадрика Коши), на которой располагаются концы радиус-векторов, направления которых совпадают с направлением нормалей к площадкам, а величина обратно пропорциональна корню квадратному из абсолютной величины нормального напряжения в этой площадке, и доказано, что эта поверхность является поверхностью второго порядка с центром в начале координат. Возможность преобразования поверхности нормальных напряжений к главным осям свидетельствует о существовании в каждой точке трех взаимно главных перпендикулярных площадок.

Аналогичная поверхность касательных напряжений была введена русским механиком Г.В. Колосовым в 1933 г.

Геометрическая интерпретация напряженного состояния в пространстве в виде эллипсоида напряжений была дана Г. Ламе и Б. Клапейроном в их мемуарах, представленных в Парижскую академию наук в 1828 г. и опубликованных в 1833 г.

Геометрическое изображение напряженного состояния на плоскости для одной серии площадок, проходящих через главную ось, в виде окружности напряжений было предложено К. Кульманом в его книге в 1866 г.

Для общего случая напряженного состояния очень наглядная геометрическая интерпретация его на плоскости дана О. Мором (так называемая круговая диаграмма Мора) в 1882 г. Из нее можно сделать ряд важных заключений об экстремальности главных напряжений, положении площадок, в которых касательные напряжения максимальны, и о величинах этих максимальных касательных напряжений.

О.Коши дал определение деформаций, вывел зависимость их от перемещений в частном случае малых деформаций (эти зависимости, как правило, в курсе сопротивления материалов не выводятся), определил понятия главных напряжений и главных деформаций и получил зависимости компонентов напряжений от компонентов деформаций, как для изотропного, так и для анизотропного упругого тела. В сопротивлении материалов обычно устанавливаются зависимости компонентов деформаций от компонентов напряжений для изотропного тела. Они называются обобщенным законом Гука, хотя, конечно, это название условно, так, как Р. Гуку понятие напряжения известно, не было.

В указанных зависимостях Коши вначале ввел две постоянных и записал зависимости напряжений от деформаций в виде

m, ,

Однако в дальнейшем О.Коши принял концепцию Л. Навье. Согласно ей упругие тела состоят из молекул, между которыми при деформировании возникают силы, действующие по направлениям прямых линий, соединяющих молекулы, и пропорциональные изменению расстояний между молекулами. Тогда число упругих постоянных для общего случая анизотропного тела равно 15, а для тела изотропного получаем одну упругую постоянную. Этой гипотезы придерживался С. Пуассон, а вначале - Г. Ламе и Б. Клапейрон. На основании ее Пуассон установил, что коэффициент поперечной деформации равен 1/4.

Д. Грин в 1839 г. вывел зависимость между деформациями и напряжениями без использования гипотезы о молекулярном строении упругих тел. Он получил их на основе принципа сохранения энергии, введя понятие упругого потенциала, и показал, что при использовании линейных зависимостей шести компонентов деформаций от шести компонентов напряжений из 36 коэффициентов независимыми являются 21, т.е.в общем случае анизотропного тела число упругих постоянных равно 21. Для изотропного тела число упругих постоянных снижается до двух. Теория, в которой число упругих постоянных для анизотропного тела равно 15, а для изотропного 1, иногда называлась «рариконстантной» или «униконстантной», а теория, в которой число упругих постоянных для анизотропного тела равно 21, а для изотропного 2 - «мультиконстантной».

Спор между сторонниками этих теорий побудил физиков к экспериментальным исследованиям.

Г. Вертгейм на основании замеров внутренних объемов стеклянных и металлических труб при осевом растяжении установил в 1848 г., что коэффициент поперечной деформации не равен 1/4. Он считал его различным для различных материалов, но для многих материалов близким к 1/3.

А.Я. Купфер, испытывая в 1853 г. на растяжение и кручение, металлические стержни, также получил, что отношение модулей при сдвиге и растяжении не соответствует величине поперечной деформации, равной 1/4.

Ф. Нейманн испытывал в 1855 г. на изгиб образцы прямоугольного поперечного сечения и измерял при этом углы поворота двух граней балки, (перечное сечение принимает трапецеидальную форму). В результате он показал, что коэффициент поперечной деформации не равен 1/4. К такому же выводу пришел Г. Кирхгоф, ученик Ф.Неймана, на основании проведенных в 1859 г. испытаний на совместный изгиб и кручение круглых латунных стержней, заделанных одним концом и нагруженных на другом сосредоточенной силой, с замером угла закручивания стержня и угла поворота сечения.

Большое экспериментальное исследование коэффициентов поперечной деформации для различных сортов стали, провел один из учеников Г.Кирхгофа М.Ф. Окатов в 1865 - 1866 гг. Результаты приведены в его докторской диссертации.Испытания на кручение и изгиб тонких призм, вырезанных из монокристаллов, а также испытания сжимаемости кристаллов при всестороннем равном сжатии были проведены В.Фойгтом и описаны в его многочисленных статьях, объединенных в дальнейшем в книге, опубликованной в 1910 г. Они подтвердили правильность мультиконстантной теории.

Глубокое исследование математической структуры закона Гука для анизотропных тел было проведено механиком и инженером Яном Рыхлевским в 1984 г. на основе введенного им понятия собственного упругого состояния. В частности, им показано, что 21 упругая постоянная представляет собой шесть истинных модулей жесткости, 12 дистрибуторов жесткости и три угла.

2. Теория напряженно-деформированного состояния в точке тела

1 Теория напряжений

Внутренние силовые факторы, возникающие при нагружении упругого тела, характеризуют состояние того или иного сечения тела, но не дают ответа на вопрос о том, какая именно точка поперечного сечения является наиболее нагруженной, или, как говорят, опасной точкой. Поэтому необходимо ввести в рассмотрение какую-то дополнительную величину, характеризующую состояние тела в данной точке.

Если тело, к которому приложены внешние силы, находится в равновесии, то в любом его сечении возникают внутренние силы сопротивления. Обозначим через внутреннее усилие, действующее на элементарную площадку , а нормаль к этой площадке через тогда величина

называется полным напряжением.

В общем случае полное напряжение не совпадает по направлению с нормалью к элементарной площадке, поэтому удобнее оперировать его составляющими вдоль координатных осей -

Если внешняя нормаль совпадает с какой-либо координатной осью, например, с осью Х, то составляющие напряжения примут вид при этом составляющая оказывается перпендикулярной сечению и называется нормальным напряжением, а составляющие будут лежать в плоскости сечения и называются касательными напряжениями.

Чтобы легко различать нормальные и касательные напряжения обычно применяют другие обозначения: - нормальное напряжение, - касательное.

Выделим из тела, находящегося под действием внешних сил, бесконечно малый параллелепипед, грани которого параллельны координатным плоскостям, а ребра имеют длину . На каждой грани такого элементарного параллелепипеда действуют по три составляющие напряжения, параллельные координатным осям. Всего на шести гранях получим 18 составляющих напряжений.

Нормальные напряжения обозначаются в виде , где индекс обозначает нормаль к соответствующей грани (т.е. может принимать значения ). Касательные напряжения имеют вид ; здесь первый индекс соответствует нормали к той площадке, на которой действует данное касательное напряжение, а второй указывает ось, параллельно которой это напряжение направлено (рис.1).

Рис.1. Нормальные и касательные напряжения

Для этих напряжений принято следующее правило знаков. Нормальное напряжение считается положительным при растяжении, или, что то же самое, когда оно совпадает с направлением внешней нормали к площадке, на которой действует. Касательное напряжение считается положительным, если на площадке, нормаль к которой совпадает с направлением параллельной ей координатной оси, оно направлено в сторону соответствующей этому напряжению положительной координатной оси.

Составляющие напряжений являются функциями трех координат. Например, нормальное напряжение в точке с координатами можно обозначать

В точке, которая отстоит от рассматриваемой на бесконечно малом расстоянии, напряжение с точностью до бесконечно малых первого порядка можно разложить в ряд Тейлора:

Для площадок, которые параллельны плоскости изменяется только координата х, а приращения Поэтому на грани параллелепипеда, совпадающей с плоскостью нормальное напряжение будет , а на параллельной грани, отстоящей на бесконечно малом расстоянии , - Напряжения на остальных параллельных гранях параллелепипеда связаны аналогичным образом. Следовательно, из 18 составляющих напряжения неизвестными являются только девять.

В теории упругости доказывается закон парности касательных напряжений, согласно которому по двум взаимно перпендикулярным площадкам составляющие касательных напряжений, перпендикулярные линии пересечения этих площадок, равны друг другу:

Равенства (2) приводят к тому, что из девяти составляющих напряжений, характеризующих напряженное состояние в точке тела, остаются только шесть:

Можно показать, что напряжения (3) не просто характеризуют напряженное состояние тела в данной точке, но определяют его однозначно. Совокупность этих напряжений образует симметричную матрицу, которая называется тензором напряжений:

(4)

При умножении тензора на скалярную величину получится новый тензор, все компоненты которого в раз больше компонентов исходного тензора.

2 Теория деформаций

Под действием внешних нагрузок упругое тело изменяет свою форму, деформируется. При этом точки тела принимают какое-то новое положение. Для определения деформации упругого тела сравним положения точек тела до и после приложения нагрузки.

Рассмотрим точку ненагруженного тела и ее новое положение после приложения нагрузки. Вектор называется вектором перемещения точки (рис.2).

Рис.2. Вектор перемещения точки

Возможны два вида перемещений: перемещение всего тела как единого целого без деформирования - такие перемещения изучает теоретическая механика как перемещения абсолютно твердого тела, и перемещение, связанное с деформацией тела - такие перемещения изучает теория упругости.

Обозначим проекции вектора перемещения точки на координатные оси через соответственно. Они равны разности соответствующих координат точек и :

и являются функциями координат:

Деформирование тела вызвано разницей в перемещениях различных его точек. Бесконечно малый параллелепипед с ребрами вырезанный из упругого тела около произвольной точки , вследствие различных перемещений его точек деформируется таким образом, что изменяется длина его ребер и искажаются первоначально прямые углы между гранями.

На рис.3.3 показаны два ребра этого параллелепипеда: и длина ребра равна а ребра -

После деформации точки принимают положение При этом точка получит перемещение, составляющие которого в плоскости чертежа равны и Точка отстоящая от точки на бесконечно малом расстоянии получит перемещение, составляющие которого будут отличаться от составляющих перемещения точки на бесконечно малую величину за счет изменения координаты

Рис.3. Линейные и угловые деформации

Составляющие перемещения точки будут отличаться от составляющих перемещения точки на бесконечно малую величину за счет изменения координаты

Длина проекции ребра на ось после деформации:

Проекция абсолютного удлинения ребра на ось

Относительное удлинение вдоль оси

(6)

называется линейной деформацией по направлению оси .

Аналогично определяются линейные деформации по направлениям осей и

(7)

Рассмотрим изменение углов между ребрами параллелепипеда (рис.3). Тангенс угла поворота ребра в плоскости

Вследствие малости деформаций а линейной деформацией можно пренебречь ввиду ее малости по сравнению с единицей, и тогда

Аналогичным образом можно определить угол поворота ребра в той же плоскости:

Искажение прямого угла называется угловой деформацией и определяется как сумма углов поворота ребер и :

(8)

Таким же образом определяются угловые деформации в двух других координатных плоскостях:

(9)

Формулы (6)-(9) дают шесть основных зависимостей для линейных и угловых деформаций от составляющих перемещения. Эти зависимости называются уравнениями Коши:

(10)

В пределе, когда длины ребер параллелепипеда стремятся к нулю, соотношения Коши определяют линейные и угловые деформации в окрестности точки

Положительным линейным деформациям соответствуют удлинения, а отрицательным - укорочения. Угол сдвига считается положительным при уменьшении угла между положительными направлениями соответствующих координатных осей и отрицательным - в противном случае.

Аналогично тензору напряжений, деформированное состояние тела в данной точке описывается тензором деформаций

(11)

Как и тензор напряжений, тензор деформаций является симметричной матрицей, которая содержит девять компонентов, шесть из которых являются различными.

2.3 Связь между напряженным и деформированным состоянием для упругих тел

Зависимости между напряжениями и деформациями носят физический характер. Ограничиваясь малыми деформациями, связь между напряжениями и деформациями можно считать линейной.

При испытании стержня на растяжение (о механических испытаниях материалов будет подробно рассказано в следующем разделе) установлена пропорциональная зависимость между нормальным напряжением и линейной деформацией в одном направлении, которая называется законом Гука:

где упругая постоянная называется модулем продольной упругости.

Тем же экспериментальным путем установлена связь между линейными деформациями в продольном и поперечном направлениях:

где - линейная деформация в поперечном направлении, - вторая упругая постоянная, называемая коэффициентом Пуассона.

При механических испытаниях на чистый сдвиг установлена прямо пропорциональная зависимость между касательным напряжением и угловой деформацией в плоскости действия этого напряжения, которая получила название закона Гука при сдвиге:

где величина является третьей упругой постоянной и называется модулем сдвига. Однако эта упругая постоянная не является независимой, т.к. связана с первыми двумя зависимостью

Чтобы установить зависимости между деформациями и напряжениями, выделим из тела бесконечно малый параллелепипед (рис.1) и рассмотрим действие только нормальных напряжений Разницей напряжений на противоположных гранях параллелепипеда можно пренебречь, т.к. она приводит к деформациям более высокого порядка малости.

Определим удлинение ребра параллельного напряжению При действии этого напряжения согласно закону Гука (3.12) произойдет относительное удлинение ребра

Напряжение вызывает аналогичное удлинение в направлении, перпендикулярном ребру

а в направлении ребра - укорочение, которое согласно (13) составляет

или, с учетом выражения деформации

Аналогично определяется относительное укорочение ребра при действии напряжения

На основании принципа независимости действия сил полное относительное удлинение ребра можно определить как сумму удлинений от действия каждого напряжения:

Аналогично можно определить линейные деформации по направлениям двух других осей:

В соответствии с законом Гука при сдвиге (14) связь между угловыми деформациями и касательными напряжениями можно представить независимо для каждой из трех плоскостей, параллельных координатным плоскостям:

Таким образом, получены шесть формул, которые выражают линейную зависимость между составляющими деформации и напряжений в изотропном упругом теле и называются обобщенным законом Гука:

(16)

3. Основные уравнения теории упругости. Типы задач теории упругости

Основная задача теории упругости - определение напряженно-деформированного состояния по заданным условиям нагружения и закрепления тела.

Напряженно-деформированное состояние определено, если найдены компоненты тензора напряжений {s} и вектора перемещений , девять функций.

3.1 Основные уравнения теории упругости

Для того, чтобы найти эти девять функций надо записать основные уравнения теории упругости, или:

Дифференциальные Коши

(17)

где - компоненты тензора линейной части деформаций Коши;

компоненты тензора производной перемещения по радиусу.

Дифференциальные уравнения равновесия

где - компоненты тензора напряжений; - проекция объемной силы на ось j.

Закон Гука для линейно-упругого изотропного тела

где - константы Ламе; для изотропного тела. Здесь - нормальные и касательные напряжения; деформации и углы сдвига соответственно.

Вышеперечисленные уравнения должны удовлетворять зависимостям Сен-Венана

В теории упругости задача решена, если выполняются все основные уравнения.

2 Типы задач теории упругости

Граничные условия на поверхности тела должны выполняться и в зависимости от типа граничных условий различают три типа задач теории упругости.

Первый тип. На поверхности тела заданы силы. Граничные условия

Второй тип. Задачи, в которых на поверхности тела задано перемещение. Граничные условия

Третий тип. Смешанные задачи теории упругости. На части поверхности тела заданы силы, на части поверхности тела задано перемещение. Граничные условия

Задачи, в которых на поверхности тела заданы силы или перемещения, а требуется найти напряженно-деформированное состояние внутри тела и то, что не задано на поверхности, называют прямыми задачами. Если же внутри тела заданы напряжения, деформации, перемещения и т.д., а требуется определить то, что не задано внутри тела, а также перемещения и напряжения на поверхности тела (то есть найти причины, вызвавшие такое напряженно-деформированное состояние)), то такие задачи называются обратными.

4 Уравнения теории упругости в перемещениях (уравнения Ламе)

Для определения уравнений теории упругости в перемещениях запишем: дифференциальные уравнения равновесия (18) закон Гука для линейно-упругого изотропного тела (19)

Если учесть, что деформации выражаются через перемещения (17), запишем:

Следует также напомнить, что угол сдвига связан с перемещениями следующим соотношением (17):

(23)

Подставив в первое уравнение равенств (19) выражение (22), получим, что нормальные напряжения

(24)

Отметим, что запись иц в данном случае не подразумевает суммирования по i.

Подставив во второе уравнение равенств (19) выражение (23), получим, что касательные напряжения

(25)

Запишем уравнения равновесия (18) в развернутом виде для j = 1

(26)

Подставив в уравнение (26) выражения для нормальных (24) и касательных (25) напряжений, получим

где λ- константа Ламе, которая определяется по выражению:

Подставим выражение (28) в уравнение (27) и запишем,

где определяется по выражению (22), или в развернутом виде

Разделим выражение (29) на G и приведем подобные слагаемые и получим первое уравнение Ламе:

(30)

где - оператор Лапласа (гармонический оператор), который определятся как

(31)

Аналогично можно получить:

(32)

Уравнения (30) и (32) можно записать в следующем виде:

(33)

Уравнения (33) или (30) и (32) являются уравнениями Ламе. Если объемные силы равны нулю или постоянны, то

(34)

причем запись в данном случае не подразумевает суммирования по i. Здесь

Можно показать, что такое представление перемещений через гармоническую функцию обращает в тождество уравнения Ламе (33). Часто их называют условиями Попковича-Гродского. Четыре гармонические функции не обязательны, ведь ф0 можно приравнять нулю.

4. Вариационные принципы Теории упругости.

1 Принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа)

Принцип Лагранжа. Для тела, находящегося в равновесии, работа внешних и внутренних сил на любых возможных бесконечно малых приращениях перемещений равна нулю.

Используя теорему Клапейрона,что для упругодеформированного тела варьируя перемещением, получаем принцип Лагранжа

Возможными в механике деформируемых тел называют такие перемещения, которые удовлетворяют внешним и внутренним связям, наложенным на тело.

Внешние связи - это условия закрепления, внутренние связи - условие сплошности.

Чтобы удовлетворить внутренним связям, надо, чтобы приращения перемещений были непрерывными однозначными функциями координат.

В такой форме принцип Лагранжа справедлив для любых деформируемых тел.

Для упругих тел было получено, что

(41)

Тогда (40) с учетом (41) запишется как

(42)

где W - удельная деформация, а

Здесь U - вариация всей потенциальной энергии тела.

Подставим в (42) выражение (43), и, поскольку силы не варьируются, запишем, что

(44)

Уравнение (44) является вариационным уравнением Лагранжа.

Если силы консервативны, то первые два интеграла представляют собой изменение потенциала внешних сил при переходе из недеформирован-ного состояния в деформированное.

Потенциал внешних сил

(45)

где - возможная работа внешних сил при переходе из недеформирован-ного в деформированное состояние вычислена в предположении, что внешние силы остаются неизменными. Полная энергия системы

Тогда с учетом выражений (44) - (46) принцип Лагранжа запишется:

то есть вариация полной энергии системы в положении равновесия на возможных перемещениях равна нулю. Выражение (47) является вариационным уравнением Лагранжа в случае действия только консервативных сил.

В положении устойчивого равновесия полная энергия П минимальна,

Принцип Лагранжа - принцип минимальной энергии.

2 Принцип возможных состояний (принцип Кастильяно)

Будем называть возможными состояниями такие, которые находятся в соответствии с внешними и внутренними силами, то есть удовлетворяющие уравнениям равновесия.

Уравнение (57) записывает Принцип Кастильяно. При возможных изменениях напряженного состояния тела вариация равна интегралу по той части поверхности тела, на которой заданы перемещения от произведений возможных поверхностных сил на перемещения.

3 Соотношение между точным решением и решениями, получаемыми на основе принципов Лагранжа и Кастильяно

На основе принципа Лагранжа, выбирая какие-то функции, или их набор, и так как набор функций ограниченный, то получаем меньшее число степеней свободы системы, таким образом, уменьшаем и степени свободы конструкции. То есть в энергетическом смысле решение получается жестче, чем точное.

Если брать интегральные характеристики, то приближенное решение более жестко интегрально.

При решении задачи о нагружении шарнирно опертой балки поперечной силой в середине пролета (рис. 1), то приближенное решение даст меньшее перемещение под силой, чем при точном решении.

точное решение

При решении той же задачи при помощи вариационного принципа Кастильяно, так как не выполняется условие сплошности, система получает большую свободу, чем в действительности.

Точное решение находится между этим двумя приближенными способами (Лагранжа и Кастильяно). Иногда разница между полученными решениями невелика.

5. Список использованной литературы

1. Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. 400 стр.Высшая школа.1990г.

2. Веретимус Д.К. Основы теории упругости.Часть I.Теория напряжений.Методическое пособие по курсу «Основы теории упругости и пластичности». 2005.-37с.

Веретимус Д.К. Основы теории упругости.Часть II .Теория деформаций. Связь между напряженным и деформированным состоянием.Методическое пособие по курсу «Основы теории упругости и пластичности»,2005.-53с.

Веретимус Д.К. Основы теории упругости.Часть III .Основные уравнения теории упругости.Типы задач теории упругости.Методическое пособие по курсу «Основы теории упругости и пластичности»,2005.-45с.